4.已知数列{a(n)}，a(n)=1+2+…+2^(n-1),求S(n)=a(1)+a(2)+…+a(n).

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直接用等比数列求和公式就行的。
解：a(n)=1+2+…+2^(n-1)=1*（1-2^n)/(1-2)=2^n-1
S(n)=a(1)+a(2)+…+a(n)
=2^1-1+2^2-1+2^3-1+……+2^n-1
=(2+2^2+2^3+……+2^n)-n
=2*(1-2^n)/(1-2)-n
=2^(n+1)-2-n.

注：1、1，2，……，2^(n-1)是 等比数列，an就是求其前n项和；
2、2，2^2,……2^n亦为等比数列，Sn拆项后成为求其前n项和与n个1之差。
3、等比数列{an}前n项和公式：Sn=a1(1-q^n)/(1-q)

数学归纳法做的

主要就是假设S(n-1)=2^(n)-2-(n-1)成立

则你只要证明S(n)=S(n-1)+a(n)=2^(n+1)-2-n就可以了